IV. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ГО

[Содержание] [Первая] [Назад] [Вперед]

4. Пересечение непроецирующих ГО

Решение задач

Решение задач этого типа ( _\_/_     З  _\_/_ ) требует тщательного анализа графической ситуации.


Рис. 272

Иногда одному из геометрических образов - прямой, плоскости, цилиндрической или призматической поверхности - можно придать решающее положение - проецирующее, путем преобразования чертежа. Это бывает выгодно в том случае, если преобразование не требует громоздких построений. Осуществив преобразование чертежа, решение задачи производят по алгоритму сочетания 2 (рис. 272, 281).

Иногда преобразование чертежа может привести к сложным построениям. В этом случае проще выполнить решение по универсальному алгоритму сочетания 3.


Рис. 281

Прежде чем приступать к решению такой задачи следует предварительно представить вид общего элемента. Общим элементом может быть точка, прямая, кривая: кривая может быть плоской или пространственной. Число общих элементов может быть больше или меньше единицы, или равно единице.

Для определения общих точек двух не проецирующих геометрических образов пользуются посредниками. Число посредников зависит от вида общего элемента. Если предполагаемым общим элементом является точка , например, в случае пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения, то достаточно одного посредника. Если нам заведомо известно, что пересечение должно происходить по прямой, например, когда пересекаются две плоскости, то применяют два посредника, каждый из которых даст одну общую точку, а две точки вполне определяют искомую прямую. Если пересечение происходит по кривой, то строят дискретный ряд для пересекающихся поверхностей общих точек, которые затем соединяют между собой в определенной последовательности.

Обычно выбор посредника состоит в том, чтобы пересечь заданные поверхности по простым линиям - прямым или окружностям. Однако это не всегда возможно.

Универсальный алгоритм решения задач сочетания 3 представлен на рис. 273.


                                            Рис. 273                                                                       Вид.33

  1. Вводим посредник, который пересекает заданные поверхности по графически простым линиям - либо по прямым, либо по окружностям.
  2. Строим проекции линии пересечения заданных поверхностей с посредником.
  3. Определяем точки пересечения полученных линий; эти точки являются общими для заданных геометрических образов, так как принадлежат линиям сечения посредником.

Посредниками могут быть плоскости частного положения - уровня или проецирующие; сферы; плоскости общего положения; проецирующие поверхности; конические поверхности.

Выделим особо задачи по определению точек пересечения непроецирующей прямой с поверхностями. Для их решения применяют всего один посредник, и этот посредник - плоскость. Плоскость-посредник должна содержать заданную прямую, то есть "пересекать" прямую по самой прямой, а сечением заданной прямой плоскостью-посредником является сама прямая.

Решим задачу по определению точки пересечения прямой общего положения l с плоскостью общего положения Г ((а, b): а || b) (рис. 274).


Рис. 274

Аудио-комментарии

(Открыть в своём проигрывателе)

  1. Вводим посредник - фронтально-проецирующую плоскость Y, которая "пересекает" прямую l по самой прямой, т.е. фронтально-проецирующая плоскость-посредник содержит в себе прямую l. Тогда на чертеже Y2 = l2.
  2. Посредник-плоскость Y пересекает заданную плоскость Г(гамма) по прямой, которая определяется служебными точками 1 и 2. На чертеже фронтальная проекция прямой 1-2 совпадает с проекциями l2 и Y2, так как обе прямые "сечения" заданных геометрических образов лежат в плоскости Y.
  3. Строим горизонтальную проекцию "сечения" плоскости Г - прямой 11 - 21; горизонтальная проекция "сечения" прямой l является горизонтальная проекция l1. Проекция "сечений" на горизонтальной плоскости пересекается в точке К1, которая и является горизонтальной проекцией искомой точки.

Нам удалось определить точку К пересечения заданной прямой с прямой 1-2, которая лежит в заданной плоскости, и поскольку прямая может пересечь плоскость в одной точке, то полученная точка является искомой. С помощью вертикальной линии связи определяем фронтальную проекцию точки К - К2, которая принадлежит одновременно трем геометрическим образам: заданной прямой l , посреднику-плоскости Y , прямой сечения заданной плоскости плоскостью - посредником (1-2).

Для закрепления изучаемого материала решите задачи: №28(6), №28(7)

Рассмотрим еще одну задачу. Определим точки пересечения прямой l общего положения и пирамиды (рис. 275). Воспользуемся алгоритмом решения предыдущей задачи.


Рис. 275

Аудио-комментарии

(Открыть в своём проигрывателе)

  1. Вводим посредник - фронтально-проецирующую плоскость Y, которая содержит в себе прямую l. Тогда Y2 = l2.

Примечание: В качестве посредника в ряде случаев (как и в приводимом примере) можно использовать как фронтально-проецирующую, так и горизонтально-проецирующую плоскость.

  1. Строим горизонтальные проекции сечений. Проекция "сечения" прямой l является проекция самой прямой l1; проекцией сечения пирамиды - треугольник 11-21-31-11. Горизонтальные проекции "сечений" пересекаются в точках M1 и N1. Находим фронтальные проекции искомых точек M и N по их принадлежности прямой l, плоскости-посреднику Y и треугольнику 1-2-3-1.

Проведем позиционный анализ решения последней задачи.

  1. Задача имела бы одно решение, если бы горизонтальная проекция заданной прямой пересекала горизонтальную проекцию треугольника в одной из его вершин.
  2. Заданная прямая лежала бы на одной из граней пирамиды, если бы ее горизонтальная проекция совпадала с одной из сторон сечения.

Для закрепления изучаемого материала решите задачи: №49, №55(2), №55(3), №55(4)

Определите самостоятельно, в каком случае прямая l не пересекала бы пирамиду.

Грамотный выбор вида посредника зависит от тщательного геометрического анализа геометрических образов и их ориентации.

Родственные задачи с линейчатыми кривыми поверхностями

Рассмотрим решение родственных по пересекающимся конуса (цилиндра) и прямой задач для определения точек пересечения не проецирующей прямой с кривыми, не проецирующими линейчатыми поверхностями.

Задача 1. Определить точки пересечения горизонтали h с конусом вращения, у которого ось вращения является горизонтально-проецирующей прямой (рис. 276).


Рис. 276

Анализ чертежа показывает, что целесообразно в качестве посредника применить горизонтальную плоскость уровня Z (дзета), которая содержит в себе заданную горизонталь h, потому что такая плоскость пересечет конус по его параллели - окружности ( на чертеже она голубого цвета). Поскольку окружность сечения конуса расположена в горизонтальной плоскости уровня, то она спроецируется на П1 без искажения. Точки пересечения горизонтальной проекции заданной горизонтали с горизонтальной проекцией окружности сечения являются горизонтальными проекциями искомых точек. Фронтальные проекции этих точек определяем по их принадлежности h. Поскольку точка М расположена сзади, то М2 - не видима.

Проведите самостоятельно позиционный анализ взаимного положения прямой и конуса и определите, в каком случае задача имеет одно решение, а также когда задача не имеет решения.

Для закрепления изучаемого материала решите задачу №52(2)

Задача 2. Дана прямая общего положения l и вертикальный конус вращения (рис. 277).


Рис. 277

Аудио-комментарии

(Открыть в своём проигрывателе)

Анализ чертежа позволяет установить особое расположения прямой - горизонтальная проекция прямой l содержит в себе горизонтальную проекцию вершины конуса, что позволяет заключить: прямая l и вершина S составляют горизонтально-проецирующую плоскость, которую удобно принять за посредник, потому что она может пересечь конус по его прямолинейным образующим. Обозначим эту плоскость-посредник Т (тау). Она пересекает направляющую конуса - окружность основания в точках 1 и 2. Определяем фронтальные проекции этих точек, соединяем их с фронтальной проекцией вершины S2. В результате получаем фронтальную проекцию сечения конуса плоскостью-посредником по образующим S-1 и S-2. S2-12 и S2-22 пересекается с фронтальной проекцией заданной прямой l2 в точках М2 и N2. Горизонтальные проекции точек пересечения определяем по их принадлежности прямой l.

Для закрепления изучаемого материала решите задачу №52(3)

Задача 3. Даны: прямая общего положения l и вертикальный конус вращения (рис. 278).


Рис. 278

Анализ графического условия показывает, что если в качестве посредника выбрать горизонтально-проецирующую плоскость, содержащую прямую l, то она рассечет конус по гиперболе. Если же в качестве посредника использовать фронтально-проецирующую плоскость, то в сечении получится эллипс. Если преобразовать прямую l в проецирующую, то придется строить эллипс, в который спроецируется окружность основания. Все перечисленные пути связаны с построением непростых линий. Как же в данном случае рассечь конус вращения по простым линиям (прямым или окружностям)? На конусе вращения есть два множества простых линий - параллели-окружности и образующие прямые. Посредник-плоскость, который может рассечь заданный конус по окружности и при этом содержать в себе заданную прямую, применить в данном случае нельзя.

Остается найти способ для формирования плоскости, которая содержит в себе заданную прямую и пересекает конус по образующим. А ведь такая плоскость должна проходить через вершину конуса! Итак, нам известны два элемента вполне задающие плоскость-посредник: вершина конуса - точка и заданная прямая. Но ведь это плоскость общего положения!

Таким образом определен посредник в виде плоскости общего положения, содержащей вершину конуса и заданную прямую. Заставим же её работать.

Представим себе, что заданная прямая l - некоторый нож. Теперь потянем нами воображаемый нож к вершине S. При самом кратком пути нож разрежет конус по прямолинейным образующим и "дорежем" конус до плоскости основания. В результате получаем в сечении две образующие,а в секущей плоскости - посреднике расположена и заданная прямая.


Рис. 279

Аудио-комментарии

(Открыть в своём проигрывателе)

Теперь наши домыслы представим графически на cхеме (рис. 279). Изменим способ задания плоскости-посредника. Зададим ее двумя пересекающимися прямыми: одна из них - прямая l , вторая соединяет вершину конуса S с произвольной точкой 1, которая принадлежит прямой l.


Рис. 280

Аудио-комментарии

(Открыть в своём проигрывателе)

Выполним эти построения на ортогональных проекциях. Построения начнём с фронтальной проекции, с той проекции, на которой линия обреза конуса - окружность представлена отрезком. Она лежит в горизонтальной плоскости уровня Z (дзета). Соединим произвольную точку 1, принадлежащую прямой l , с вершиной S. Этим самым перезадаем плоскость-посредник двумя пересекающимися прямыми. Прямую S-1 продолжим до следа плоскости основания конуса Z в точке 2. Продолжим фронтальную проекцию прямой l до плоскости основания конуса Z в точке 3. По прямой 2-3 плоскость-посредник пересекается с плоскостью основания конуса Z. Строим горизонтальные проекции точек 1 и 3 по их принадлежности прямой l. 21 следует строить, руководствуясь ее принадлежностью прямой S-1. Точки 2 и 3 принадлежат плоскости-посреднику и плоскости основания конуса, следовательно, эти две плоскости пересекаются по прямой 2-3.

Таким образом, в плоскости основания конуса оказалось две линии: линия обреза конуса (окружность основания) и прямая 2-3. В данном случае эти две линии пересекаются в точках А и В, что можно установить по горизонтальной проекции. Сопоставим эти точки с точками1 и 2 предыдущей задачи (рис. 279), которые являлись концами образующих конуса при формировании сечения его плоскостью-посредником.

Вернемся к рис. 280. Точки А и В принадлежат плоскости-посреднику как лежащие на ее прямой 2-3. В плоскости-посреднике лежит и точка S. Проведём в плоскости-посреднике прямые SA и SB. В то же время точки А и В принадлежат поверхности конуса, как лежащие на окружности основания. Точка S является вершиной конуса, поэтому прямые SA и SB являются прямолинейными образующими конуса. Таким образом нам удалось рассечь плоскостью-посредником конус по его прямолинейным образующим SA и SB. В плоскости-посреднике с прямыми SA и SB пересекается прямая l в точках М и N, что можно установить по горизонтальной проекции. Фронтальные проекции этих точек определяются по их принадлежности прямой l. Фронтальные проекции прямых SA и SB строить не обязательно.

Для закрепления изучаемого материала решите задачу №52(4)

Задача 4. Дана прямая общего положения l и конус общего вида, у которого линия обреза незакономерная плоская кривая, замкнутая, с изгибами (рис. 281). Требуется также определить точки пересечения прямой с поверхностью конуса.


Рис. 281

Поскольку линия обреза имеет изгибы, то число точек пересечения прямой с поверхностью конуса может быть больше двух.

Для решения задачи, так же как и в предыдущем случае, сформируем в качестве посредника плоскость из вершины конуса и заданной прямой. Повторим те же построения до получения горизонтальной проекции прямой 2-3. В данном случае она пересекает проекцию основания конуса в 4-х точках. Следовательно, плоскость-посредник пересекает конус по 4-м образующим, а сама прямая пересекает конус в 4-х точках: M, N, P, Q.

Задача 5. Определить точки пересечения прямой общего положения с эллиптическим цилиндром (рис. 282 и 283).


Рис. 282

Аудио-комментарии

(Открыть в своём проигрывателе)

Пояснения: Данный цилиндр называется эллиптическим потому, что его нормальное сечение (сечение плоскостью, перпендикулярной к образующим цилиндра) - эллипс. Нормальное сечение цилиндра такое, плоскость которого перпендикулярна образующим.


Рис. 283

Аудио-комментарии

(Открыть в своём проигрывателе)

Поскольку цилиндрическая поверхность линейчатая, то нам надо постараться ввести такую плоскость-посредник, содержащую данную прямую, чтобы она рассекала цилиндр по его образующим - прямым линиям.

Так как направляющая данного цилиндра выпуклая кривая, то точек пересечения с прямой ожидается не более двух, и сечение данного цилиндра плоскостью-посредником может произойти не более чем по двум образующим.

Продолжим наши рассуждения. Цилиндр - частный случай конуса, вершина которого отнесена в бесконечность, и является несобственной точкой, и поэтому все образующие цилиндра в переделах видимости взаимно параллельны. Исходя из этого мы можем в качестве посредника применить плоскость общего положения, которая содержит прямую l и несобственную вершину цилиндра SҐ .

Проведем построения. Так же, как и в задачах 3 и 4, выбираем на прямой l точку 1 таким образом, чтобы построения вместились на поле чертежа. Теперь нам надо связать точку 1 с несобственной вершиной цилиндра прямой. Эта прямая вместе с образующей устремляется к несобственной точке - "вершине" цилиндра - и поэтому параллельна образующим. Таким образом посредником является плоскость общего положения, назовем ее Г (гамма); она определяется двумя пересекающимися в точке 1 прямыми - заданной прямой l и прямой, параллельной образующим.

Прямая, параллельная образующим цилиндра пересекает плоскость основания цилиндра в точке 2, а прямая l в точке 3. Прямая 2-3 является линией пересечения плоскости-посредника с плоскостью основания цилиндра. Она пересекает линию обреза цилиндра в точках А и В. Из них проводим образующие цилиндра. Именно по ним плоскость-посредник рассекает данный цилиндр. Проекции прямой линии, параллельной образующим, проводят параллельно одноименным проекциям очерковых образующих цилиндра.

Для закрепления изучаемого материала решите задачу №53

Универсальный алгоритм для сочетания _|_|_  З  _\_/_

Мы рассмотрели задачи по определению точки пересечения прямой общего положения с различными поверхностями - плоскостью общего положения, пирамидой, конусами, наклонным эллиптическим цилиндром. На основании этих задач составим универсальный алгоритм их решения:

  1. Если прямая общего, не проецирующего положения - вводят посредник.
  2. В качестве посредника выбирают плоскость, которая рассекает заданную поверхность по простым линиям - прямым или окружностям.
  3. Строят проекции сечения. Иногда достаточно одной проекции.
  4. Определяют точки пересечения заданной прямой с построенным сечением поверхности.
  5. Недостающие проекции определяют по принадлежности точек заданной прямой.

Заметим, что при определении точек пересечения прямой уровня с поверхностью вращения, ось которой перпендикулярна плоскости проекций, определяющей название прямой уровня, выгодно использовать в качестве посредника плоскость уровня, как это сделано в задаче 1 (рис. 276). При этом удается получить в сечении окружность, одна из проекций которой не искажена.

В ряде случаев целесообразно преобразовать заданную не проецирующую прямую в проецирующую. Так, например, при определении точек пересечения прямой общего положения со сферой. Этот путь решения наиболее рационален, поскольку чертеж очерка сферы всегда окружность неизменного радиуса, и успех решения задачи зависит от безошибочного преобразования проекций и положения центра сферы.

[Содержание] [Первая] [Назад] [Вперед]